46力偶矩 4.6 力偶矩 所謂力偶矩即兩平行力具有相同的大小、相反的方向，且 兩者相距 d，圖 4-25。由於兩力的合力為零，故力偶對物體 的影響僅為旋轉。例如，當車輪轉向時，作用在方向盤上 的力偶。 由力偶所造成的力矩稱為力偶矩 (moment of a couple) 為兩力所造成力矩之和，對空間任一點 O，考慮兩向量 Ar 與 Br 由 O 點至 F− 與 F 的 A、B 點，圖 4-26，則對 O 點的力 矩為 FrFrM ×+−×= BA )( 又由三角形法則知 BA rrr =...
4.6 力偶矩 所謂力偶矩即兩平行力具有相同的大小、相反的方向，且 兩者相距 d，圖 4-25。由於兩力的合力為零，故力偶對物體 的影響僅為旋轉。例如，當車輪轉向時，作用在方向盤上 的力偶。 由力偶所造成的力矩稱為力偶矩 (moment of a couple) 為兩力所造成力矩之和，對空間任一點 O，考慮兩向量 Ar 與 Br 由 O 點至 F− 與 F 的 A、B 點，圖 4-26，則對 O 點的力 矩為 FrFrM ×+−×= BA )( 又由三角形法則知 BA rrr =+ 或 AB rrr −= ，故 FrM ×= (4-13) 純量法 圖 4-27，力偶矩的大小為 FdM = (4-14) 向量法 力偶矩亦可
示為向量積，應用 (4-13) 式 FrM ×= (4-15) 等值力偶 兩力偶若造成的力偶矩相等，則此兩力偶稱為 等值力偶 (equivalent couples)，因為力偶所造成的力偶矩 必與兩力構成的平面垂直，故等值力偶必定位於同平面， 或與此平面平行的另一平面上。 力偶的和 由於力偶為自由向量，可作用於任一點 P，並可 以向量的運算相加，如圖 4-28(a) 兩力偶作用於一物體的不 同平面，並產生力偶矩 1M 及 2M ，如圖 4-28(b)，此兩自由 向量可移至點 P 處，並求其和， 21 MMM +=R ，如圖 4-28(c) 所示。 重點 力偶矩是由兩不同作用線上之力產生，兩力大小相等方向 相反，力偶矩會產生純旋轉效果。 力偶矩為自由向量，因此不管作用於物體任何地方會產生 相同效果。 計算兩力偶產生之力矩可對任意點取力矩合，但為了方便 常取力作用線上之一點以消除一力之力矩。 在三維系統中，力偶矩常以向量法計算， FrM ×= ，其中 r 為一力上任一點至另一力上任一點之位置向量。 力偶矩之合成可由力偶系中之向量和求得。 例題 4-10 力偶作用在齒輪上，如圖 4-29(a)，將力偶以一組作 用於 A及 B點之等值力偶取代。 解：( 純量法 ) 因力偶力使齒輪逆時針旋轉，且產生力偶矩大小為 mN24)6.0(40 ⋅=== FdM ，方向為穿出紙面。M 為自 由向量，故其可作用在齒輪任一點上，如圖 4-29(b) 所 示。為維持逆時針方向的 M，作用在 A 及 B 點之水平力 的方向如圖 4-29(c) 所示，而力的大小為 N120 )m2.0(mN24 = =⋅= F FFdM Ans. 例題 4-11 試求圖 4-30(a) 中構件兩力產生的有偶矩為何？ 解：( 純量法 ) 欲直接求取兩力間的距離相當困難，可先將各力分 解成水平與垂直之分力。 N120)150(54 ==xF 及 =yF N90)150(53 = ，圖 4-30(d)，力偶矩可選取任一點，茲選 取 D 點，得 [ \ mN390 )m1(N120)m5(N90)m2(N90)m0(N120 ⋅= ++−=+ M Ans. 亦可對 A 點或 B 點以簡化力偶矩的求法，如圖 4- 30(b)，可得 [ \ mN390 )m1(N120)m3(N90 ⋅= +=+M Ans. 同樣的結果，亦可對 B 點取力偶矩而得。在圖 4- 30(b) 中利用 FdM = ，可得 ,mN270)m3(N901 ⋅==M mN120)1(N1202 ⋅== mM ，依右手定則，知此兩力偶 皆逆時針方向，即指出紙面，並且此二力偶為自由向 量，可予以相加，得 mN390mN120mN270 ⋅=⋅+⋅=M 與前述結果相同。因 M 為自由向量，故可作用在構件上 任一點，如圖 4-30(c) 所示，另外，外力對構件之反作 用力的影響，不論是圖 4-30(a) 的力偶或圖 4-30(c) 的偶 矩均是相同的。 例題 4-12 圖 4-31(a) 中力偶矩為何？其中 AB 段與 x-y 平面成 °30 角。 解 I：( 向量法 ) 力偶矩可對任一點取力矩，若對 O點，圖 4-31(b)，得 iji kkjikj krkrM 0 )25()30sin608030cos60()25()80( )25()25( +−−= ×°−+°+−×= ×+−×= BA mmN}1299{ ⋅−= j Ans. 若對力通過的 A 點求取力矩更為簡單，圖 4-31(c)，此 一情形使通過 A 點力所形成之力矩為零，故 mmN}1299{ )25()30sin6030cos60( )25( ⋅−= ×°−°= ×= j kki krM A Ans. 解 II：( 純量法 ) 雖然此題為一三維問題，但極易用 FdM = 求取力偶 矩，兩力作用線間之距離 mm96.5130cos60 =°=d ，圖 4- 31(d)，故對 A 或 B 之力矩為 mmN1299)mm96.51(N25 ⋅=== FdM 應用右手定則，M 作用方向為 j− ，故 mmN}1299{ ⋅−= jM Ans.
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